Die Macht der Modelle: Rechnen in der Coronakrise

Die Mathematik lässt uns in die Zukunft schauen und hilft so, die optimale Strategie zur Eindämmung der Covid-19-Epidemie zu finden.

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Es ist Ende April 2020, mitten in der Coronakrise. Endlich gehen die Zahlen zurück. Jeden Tag werden in Deutschland etwas weniger Menschen positiv auf das Virus Sars-CoV-2 getestet. Und es sterben auch immer weniger Menschen an der zugehörigen Krankheit Covid-19. Gleichzeitig wächst die Ungeduld vieler Bürger*innen angesichts der schon sechs Wochen anhaltenden psychischen und wirtschaftlichen Belastung, die der Shutdown mit sich bringt.

Obwohl die Beschränkungen bereits ein wenig gelockert wurden, wollen viele mehr. Manche fordern sogar, man solle ausschließlich die Risikogruppen – also ältere Menschen und Menschen mit Vorerkrankungen – isolieren und allen anderen ein normales Leben ermöglichen. Am weitesten geht der Tübinger Oberbürgermeister Boris Palmer, als er im Frühstücksfernsehen des Senders SAT.1 sagt: „Wir retten in Deutschland möglicherweise Menschen, die in einen halben Jahr sowieso tot wären“.

Später entschuldigt er sich für diese Worte und fühlt sich missverstanden. Aber die grässliche und herzlose Diskussion ist in der Welt. Vor allem im Internet, aber zunehmend auch bei den Demonstrationen gegen die so genannten Corona-Maßnahmen, tobt seitdem eine hitzige Debatte. Wie viel eine Gesellschaft als Ganze ertragen könne, wenn sie versuche, das Leben einzelner zu schützen? 

Unsere Gesundheit ist nicht unser Eigentum

Ganz abgesehen davon, dass der Streit schon deshalb hinfällig ist, weil jedes menschliche Leben gleich viel wert ist, ist es ohnehin unmöglich, die Vertreter*innen der Risikogruppen von der restlichen Bevölkerung zu trennen. Die allgemeinen Beschränkungen sind der beste Schutz für alle. Sie dienen eben nicht nur der Rettung älterer und kranker Menschen, sondern auch dem Wohlergehen der vielen anderen – inklusive jener, die dagegen demonstrieren.

„Die meisten von uns sind es nicht gewohnt, die Gesundheit anderer als ihre eigene Gesundheit zu begreifen“, diagnostiziert die Psychotherapeutin und Filmemacherin Nora Bateson: „Meine Gesundheit ist aber nicht mein Eigentum. Sie gehört der Gemeinschaft, sie gehört älteren Menschen, Jugendlichen und sogar den Mikrobiomen, die in meinem Körper oder einfach nur dem Erdreich leben.“ [1] Was auf den ersten Blick esoterisch erscheint, ist im Grunde zutiefst mathematisch gedacht. 

Dank der Mathematik gelingt es schon sehr lange, präzise Vorhersagen über bevorstehende Veränderungen in lebendigen Systemen zu machen. Das ist keine Kaffeesatzleserei. Es ist auch nicht der Blick in die Kristallkugel. Es ist eine wissenschaftlich fundierte, verlässliche Prognose. Es ist die rationale Kalkulation der möglichen Zukunft auf der Basis bestimmter Annahmen.

Die Wissenschaftler*innen versuchen dabei, biologische Systeme in Formeln zu packen, um die Prozesse zu beschreiben. Hierfür müssen sie manchmal auch die abwegigsten Einflussfaktoren berücksichtigen. Auf diesem Weg machen sie Modellrechnungen – derzeit vor allem darüber, wie die Covid-19-Epidemie sich unter bestimmten Voraussetzungen fortentwickeln dürfte.

Wie viele Jahre hätten Coronaopfer noch zu leben gehabt?

Für Populist*innen und allzu egoistische und demokratiefeindliche Demonstrant*innen sind die Resultate der Vorhersagen meist ernüchternd. So auch bei der Frage, wie viele Jahre die Menschen noch zu leben hätten, die am neuen Coronavirus gestorben sind. Britische Forscher*innen rechneten nämlich nach. Mit Hilfe eines mathematischen Modells stellten sie fest: Männliche Coronavirus-Opfer verloren durchschnittlich dreizehn Lebensjahre, weibliche elf. [2] 

Die Veröffentlichung wurde zwar kritisiert und sie ist noch nicht von unabhängigen Kolleg*innen bewertet worden. Die berechneten Ergebnisse liegen vielleicht auch ein wenig zu hoch. Am Trend dürften sich aber auch nach notwendigen Korrekturen nichts ändern: Anders als viele Protestler behaupten, streckt die Seuche keineswegs nur Todgeweihte nieder. Und das, obwohl ihr tatsächlich fast nur Menschen zum Opfer fallen, die bereits eine Krankheit haben. Diese Krankheiten sind aber offenbar ohne Covid-19-Infektion nicht allzu gefährlich oder können gut behandelt werden.

Dieses Beispiel ist exemplarisch für viele Diskussionen derzeit. Weil über das neue Virus so wenig bekannt ist und man die aktuelle Pandemie nur in groben Zügen mit vorherigen vergleichen kann, kommt den mathematischen Modellen eine ungewohnt große Bedeutung zu. Plötzlich scheint es überall auf der Welt Expert*innen zu geben, die den Mediziner*innen mit Berechnungen unter die Arme greifen. Es wurde vermutlich noch nie so viel öffentlich gerechnet wie in der Coronakrise.

Eine kurze Steile Kurve und eine deutlich flachere, in die Länge gezogene Kurve. Dargestellt ist die Zahl der Neuinfektionen über die Zeit.
Diese Grafik wurde zum Symbol des ersten Shutdowns: Unter dem Hashtag #FlattenTheCurve warben Wissenschaftler, die Modelle berechneten, darum, die Kurve der Neuinfektionen so flach wie möglich zu halten. Nur so würde die Pandemie die Gesundheitssysteme nicht überlasten. Deutlich weniger Menschen müssten sterben.

Egal ob es um die ominöse R-Zahl geht, die angibt ob die Zahl der Neuinfektionen steigt oder abnimmt, [3] um die möglichen Folgen einer einzelnen Lockerungsmaßnahme oder um das berühmte #FlattenTheCurve, das vor Wochen verantwortlich dafür war, dass der Shutdown überhaupt begonnen hatte. Nichts scheint derzeit wichtiger, als zuverlässige Kalkulationen.

Politiker*innen sind bei ihren Entscheidungen auf Modellrechnungen angewiesen. Und gerade der Erfolg des ersten Shutdowns zeigt, wie glücklich wir uns hierzulande schätzen dürfen, sowohl gute Mathematiker*innen zu haben, als auch Politiker*innen, die – zumindest am Anfang der Krise – vernünftige Schlüsse aus den verschiedenen Modellrechnungen gezogen hatten.

Politische Entscheidungen fußen oft auf Modellrechnungen

Letztlich sind auch die aktuellen politischen Entscheidungen zur Lockerung des Shutdowns das Ergebnis von Modellrechnungen. Auf deren Basis wählten die Politiker*innen eine Doppelstrategie, die zwei gegenläufige Trends zugleich bekämpfen soll: Dass das Gesundheitssystem überlastet ist und viele Menschen an Covid-19 ernsthaft erkranken oder gar sterben, und dass gleichzeitig der Schaden für anderweitig erkrankte oder geschwächte Menschen und die Wirtschaft so gering wie möglich bleibt.

Die Physikerin Viola Priesemann vom Göttinger Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation und ihr Kollege Michael Meyer-Hermann vom Helmholtz-Zentrum für Infektionsforschung in Braunschweig kritisieren die großzügigen Lockerungen allerdings öffentlich. Die Abschwächung der Maßnahmen sei zu früh gekommen. Noch seien die absoluten Zahlen der täglich neu infizierten Menschen zu hoch.

Priesemann lässt sich am 10. Mai 2020 in der ARD-Talkshow von Anne Will sogar zu einem emotionsgeladenen Satz hinreißen: „Jede Neuinfektion, die wir verhindern, ist ein Mensch weniger, der das Virus in die Heime tragen kann.“ Sie spielt darauf an, dass jeder Mensch, der sich derzeit vor einer Infektion schützt, andere nicht anstecken kann. Oder um auf Bateson zurückzukommen: Unsere Gesundheit ist „nicht unser Eigentum“.

Auch bei der Frage der Lockerungen gab es eindeutige Berechnungen. Die vier größten deutschen Forschungsgemeinschaften – Helmholtz Gemeinschaft, Fraunhofer Gesellschaft, Max-Planck-Gesellschaft und Leibniz Gemeinschaft – veröffentlichten am 28. April ein gemeinsames Statement mit dem Titel „Adaptive Strategien zur Eindämmung der Covid-19-Epidemie“. [4] Die Hauptautor*innen stammen aus jeweils einer der Gemeinschaften. Alle leiten ein Institut oder eine Arbeitsgruppe. Neben Michael Meyer-Hermann und Viola Priesemann sind es die Bremer Statistikerin und Soziologin Iris Pigeot sowie die Mathematikerin Anita Schöbel aus Kaiserslautern. Unterstützt werden sie von der Max-Planck-Covid-19-Modellierungs-Gruppe und der Helmholtz-Initiative „Systemische Epidemiologische Analyse der Covid-19-Epidemie“.

Die Auslöschung des Virus ist illusorisch

Keine Frage: Hier geht es darum, das bisherige Fortschreiten der Epidemie in all seiner Komplexität durchzurechnen und Prognosen aufzustellen, wie sich das Geschehen unter bestimmten Bedingungen jeweils weiterentwickeln dürfte. Dabei werden verschiedene Annahmen zu den politischen Maßnahmen gemacht, und es wird kalkuliert, wie man mit dem geringsten negativen Folgen für die Gesundheit der Bevölkerung ein höchstes Maß an Lockerungen erreichen kann. 

Zunächst verwerfen die Autor*innen die Idee, man könne das Virus derzeit einfach auslöschen. Das sei illusorisch. Auch das von vielen Demonstrierenden vertretene Konzept der so genannten Herdenimmunität, kontrollierte Durchseuchung genannt, komme nicht in Frage. Danach sollten die Risikogruppen so lange isoliert werden, bis unter den anderen Menschen so viele wegen einer überstandenen Infektion immun sind, dass die Epidemie ganz von alleine zum Erliegen kommt. Dabei würden „selbst bei optimistischen Schätzungen“ zu viele Menschen sterben, es dauere viel zu lange und man müsse dennoch „harte Einschränkungen aufrechterhalten“, schreiben die Forscher*innen.

Nimmt man zum Beispiel an, es seien bereits ein Drittel der Bevölkerung immun gegen das Virus und es würden nur 56 von 10.000 Menschen am Infekt sterben, steckten sich im Laufe der Zeit rund 40 Millionen Deutsche an – natürlich auch aus den Risikogruppen – und mehr als 200.000 stürben. Auf dem Höhepunkt der Epidemie benötigten die Krankenhäuser 100.000 Betten auf Intensivstationen. Gäbe es noch keine Grundimmunität müsste man sogar mit 300.000 Toten rechnen und benötigte bis zu 125.000 Intensivbetten. [5]

Der Weg zum weitgehend normalen Leben

Es reicht also nicht, nur darauf zu setzen, dass die Bevölkerung nach und nach immun wird. Die „einzig sinnvolle Strategie“ sei derzeit die „konsequente Eindämmung von Sars-CoV-2“, schreibt das Expert*innenteam. Man müsse dazu die Zahl der Neuinfektionen zunächst weiter herunterdrücken. Dann könne man die „umfangreichen Kontakteinschränkungen durch effiziente Kontaktnachverfolgungen ersetzen“. Will sagen: Zunächst nur wenig lockern und gleichzeitig ein Verfahren entwickeln, wie sich die Bewegungen der Menschen und ihre Kontaktpersonen möglichst gut nachvollziehen lassen.

Gebe es nur noch so wenige Neuinfektionen, dass man fast alle nachverfolgen könne, genüge es, die Kontaktpersonen infizierter Menschen unter Quarantäne zu stellen. Der Rest der Bevölkerung könne wieder einem weitgehend normalen Leben nachgehen.

Laut einer früheren Modellrechnung von Forscher*innen des Berliner Robert-Koch-Instituts scheint es sogar so zu sein, dass die Nachverfolgung – das Containment – dabei gar nicht perfekt sein müsste. Wenn man 60 Prozent der Infizierten erfasse und es gelänge, 60 Prozent ihrer Kontaktpersonen zu isolieren, hielten sich danach die Zahlen der Verstorbenen während der gesamten Pandemie in halbwegs erträglichen Grenzen. Insgesamt bliebe es bei wenigen tausend Toten. [6]

Grafik, die die Faltung des Spike-Proteins des neuen Coronavirus Sars-CoV-2 darstellt.
Auch dieses Bild ist das Resultat von Modellrechnungen: Die räumliche Struktur des so genannten Spike-Proteins von Sars-COV-2. Das sind die typischen dornenartigen Auswüchse, die aus der Virushülle der Coronaviren herausragen und beim Andocken an Zellen helfen. Weil diese Art von Viren ihretwegen an eine Krone erinnert, erhielt sie den Namen Coronavirus. (Die Hülle ist nicht dargestellt. Sie liegt unterhalb des Spikes.)

Leider werden all diese Veröffentlichungen kaum wahrgenommen. Die Regierungschef*innen der einzelnen Bundesländer scheinen sich im Gegenteil geradezu im zügigen und fortschreitenden Lockern der Beschränkungen überbieten zu wollen. Geradezu absurd erscheint, dass die Zahl der Menschen, die gegen die verbleibenden Maßnahmen protestieren, dennoch wächst. Vermutlich geht es ihnen vor allem darum, das politische System in Misskredit zu bringen und gar nicht um die Sache selbst. Nur so lässt sich erklären, dass sie umso lauter werden, je mehr ihnen die Regierungen entgegenkommen.

Doch zum Glück bleibt der größte Teil der Bevölkerung trotz der ersten Lockerungen zurückhaltend. Die Epidemie stagniert in Deutschland zunächst auf recht hohem Niveau von rund 900 täglichen Neuinfektionen und scheint allmählich sogar weiter zu sinken. Nach den Modellrechner*innen hätte all das schneller gehen können, und wir alle könnten vielleicht sogar schon heute noch viel freier miteinander umgehen, wenn man mit den ersten Lockerungen noch etwas gewartet hätte. „Langfristig betrachtet waren die Öffnungsentscheidungen vermutlich nicht ideal“, sagt Viola Priesemann. [7]

Nun rechneten viele Wissenschaftler*innen mit einem neuen Ansteigen der Infektionszahlen, der so genannten zweiten Welle. „Hoffentlich läuft es dann besser mit der Wahl der Strategie. Immerhin haben wir jetzt Zeit, um unsere Ergebnisse zu erklären“, sagt Priesemann. Derzeit arbeite sie intensiv, noch genauer zu rechnen und noch „bessere Zahlen vorzulegen“. Die wichtigste Botschaft der Modelle sei aber schon heute eindeutig. Je weniger Neuinfektionen es gebe, desto einfacher lasse sich Covid-19 zurückdrängen: „Das ist wie bei einem Feuer: Je kleiner es ist, desto einfacher lässt es sich löschen.“

Hundertjährige Tradition

All das ist nicht wirklich neu. In der Biomedizin wird schon immer viel gerechnet. Aber erst jetzt wird das Erstellen von Modellen, das letztlich dem Blick in die Zukunft dienen soll, von der Öffentlichkeit als solche wahrgenommen. Die Epidemiolog*innen, Biomathematiker*innen und all die anderen Rechenkünstler*innen können sich dabei auf eine rund hundertjährige Tradition berufen. 

So stellten schon Mitte der 1920er-Jahre zwei Forscher unabhängig voneinander die gleichen Regeln und Formeln auf, die die Beziehung zwischen Raubtieren und ihrer Beute beschreiben. Der US-amerikanische Chemiker Alfred Lotka und der italienische Mathematiker Vito Volterra forschten beide an solchen Populationsdynamiken. Fast gleichzeitig veröffentlichten sie ihre mathematische Beschreibung der Schwankungen von Räuber-Beute-Populationen.

Ihre bis heute gültigen Gesetze erklären, wie sich die Zunahme von Raubtieren auf das Schwinden ihrer Beute auswirkt und wie umgekehrt in Folge dessen die Raubtiere wieder weniger werden, bis sich dann eines Tages die Population der Beutetiere erholt und die Raubtiere allmählich nachziehen. Das ist ein klassisches ökologisches Phänomen.


Mehrere menschliche Zellen mit einer zottigen Oberfläche. Darauf sitzen kleine gelb eingefärbte Viren.
Die neuen Coronaviren Sars-CoV-2 gelb eingefärbt auf einem menschlichen Gewebe, in das sie versuchen, ihr Erbgut einzuschleusen.

Lediglich mit ein paar Differenzialgleichungen schufen im Jahr 1952 die britischen Physiologen Alan Lloyd Hodgkin und Andrew Fielding Huxley dann sogar nichts Geringeres, als das erste mathematische Modell einer Nervenzelle. Sie benutzten die Mathematik, um das Wechselspiel der in die Nervenzelle ein- und ausströmenden geladenen Teilchen zu simulieren. So konnten sie zeigen, wie dieser Fluss der Ionen die typischen Spannungsänderungen an der Außengrenze der Zellen bewirkte. Die resultierenden Spannungswechsel, auch Aktionspotenziale genannt, pflanzen sich längs der Zellmembran bis ans hinterste Ende jedes Zellausläufers fort und sorgen so für die Informationsweiterleitung in Nervensystemen. Für dieses bahnbrechende Modell erhielten Hodgkin und Huxley im Jahr 1963 den Nobelpreis in Medizin und Physiologie.

Virtuelles Herz

Schon 1960 berechnete der Brite Denis Noble sogar ein vollständig schlagendes menschliches Herz. Es war die erste Simulation dieses Organs, die diesen Namen auch verdiente. Und es war eine Sensation. Denn nun war belegt, dass der Herzschlag nicht auf der Aktivität eines einzelnen Schrittmachers basiert, wie man lange gedacht hatte. Stattdessen ist er das Produkt der Zusammenarbeit mehrerer im Pumporgan eingebauter biologischer Regelkreise, die gegenseitig aufeinander ein- und auf sich selbst zurückwirken.

Ganz nebenbei konnte man nun sogar die Wirkung möglicher Gegenmittel gegen Herzkrankheiten am Modell durchrechnen, bevor sie Testreihen starteten. Die Mathematik brachte an dieser Stelle also die Kardiologie entscheidend voran.

Bald kommen die „Toten aus Verzweiflung“

Inmitten der Coronakrise sollte man sich an solche Pionierarbeiten erinnern und noch viel mehr auf die heute lebenden Rechenkünstler*innen vertrauen. Sie wagen für uns den Blick in die Kristallkugeln, und die sind dank moderner Mathematik erstaunlich klarsichtig geworden.

Gerade erst rechnete zum Beispiel der US-amerikanische Familienmediziner Stephen Petterson mit Kollegen aus, welche Folgen die wirtschaftliche und gesellschaftliche Krise haben könnte, die auf die Corona-Pandemie folgen dürfte. Im Schlepptau der Pandemie komme womöglich eine gefährliche dritte Welle auf uns zu, folgern die Autoren: Die Welle der „Toten aus Verzweiflung“. Das sind „Todesfälle durch Alkohol, andere Drogen und Suizid“.

Je nach Szenario könnte sich die Zahl der Todesopfer danach alleine in den USA zusätzlich um knapp 28.000 bis gut 154.000 erhöhen. Je rascher die Krise zu Ende geht und je geringer sich zum Beispiel die Arbeitslosigkeit auf die psychische Verfassung der Menschen auswirkt, desto niedriger wird die Todesrate sein. [8] Allerdings handelt es sich um Modellrechnungen und damit um Prognosen – nicht um die Vorhersage dessen, was wirklich geschehen wird. „Wir können diese Todesfälle verhindern, indem wir als Nation vernünftig und vorsorglich handeln“, schreiben Petterson und Kollegen.

Natürlich schaudert einen, wenn man das liest. Noch mehr als ohnehin schüttelt man den Kopf darüber, wie sorglos die Trump-Administration die Coronakrise derzeit behandelt. Und es zeigt, wie wichtig das Anfangs so gelungene Krisenmanagement in Deutschland war. Wer auch immer auf dieser Welt neue Maßnahmen gegen die Corona-Pandemie beschließen will, sollte vorher gründlich die Modelle aus der Wissenschaft studieren. 


Quellen

[1] Nora Bateson über Gesundheit in der Coronakrise: My health is not my own. Medium.com, 5.5.2020 (Zugriff 11.5.2020).

[2] Britische Modellrechnung zur Anzahl der Lebensjahre, die Covid-19-Opfer verloren haben. Die Resultate sind noch mit Vorsicht zu genießen, da die Studie noch nicht von unabhängigen Kolleg*innen überprüft wurde (peer review): P. Hanlon et al. (2020): Covid-19 - exploring the implications of long-term condition type and extent of multimorbidity on years of life lost: a modelling study. Wellcome Open Research 2020.

Siehe auch diesen Nachtrag, in dem die Autor*innen auf einige erste Kritiken an ihrer Studie eingehen.

[3] Antwort im RiffReporter Corona-FAQ zur Reproduktionszahl R: Christian J. Meier: Was sagen uns die Reproduktionszahl R und andere Messgrößen über die Pandemie. RiffReporter Covid-19.

[4] Folgerungen der vier größten deutschen Forschungsgemeinschaften aus den bisherigen Modellrechnungen zur Coronakrise: M. Meyer-Hermann et al. (2020): Adaptive Strategien zur Eindämmung der COVID-19-Epidemie.

[5] Antwort im RiffReporter Corona-FAQ zur Herdenimmunität: Christian J. Meier: Coronakrise: Funktioniert das Konzept der Herdenimmunität? RiffReporter Covid-19.

[6] Modellrechnung des Robert-Koch-Instituts zur Effektivität der Nachverfolgung (Containment): M. an der Heiden & U. Buchholz (2020): Modellierung von Beispielszenarien der SARS-CoV-2-Epidemie 2020 in Deutschland. doi: 10.25646/6571.2.

[7] Interview mit Viola Priesemann: Anne Brüning: Modellierungsexpertin: Die Lockerungen kamen zu früh. Berliner Zeitung, 13.5.2020.

[8] Modellrechnung des Well Being Trust zu den „Toten aus Verzweiflung“. S. Petterson, J.M. Westfall & B.F. Miller: Projected deaths of despair from Covid-19. Well Being Trust, 8.5.2020.


Nachtrag am 23.5.2020: Auf Anregung eines Lesers (Danke) wurde die Passage über die britischen Berechnungen der Lebenszeit, die Covid-19-Opfer im Durchschnitt ohne die Krankheit noch gelebt hätten, überarbeitet. [2] In der ersten Version wurde nicht darauf hingewiesen, dass die Zahlen eventuell zu hoch liegen.

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